Estadística

• Modelo: Es una expresión simbólica en forma de igualdad o ecuación. Se utiliza para indicar qué variables intervienen en la respuesta.
• Distribución de frecuencias de una variable: Conjunto de valores que puede adoptar una variable y la frecuencia.
• Outlier: Un dato que está alejado del patrón.
• Variable aleatoria: Es una variable que toma valores numéricos a partir de un experimento aleatorio. Su valor no está determinado por una causa concreta.
• Distribución: Es una función que nos da la probabilidad de que un valor concreto para una variable aleatoria pueda ocurrir.
• Función de densidad: La función que sigue una distirbución.

• Cuando un elemento (a) existe dentro de un conjunto (A) decimos:
• Cuando todos los elementos de un conjunto (A) también están dentro de otro conjunto más grande (B) decimos:
• El espacio (S) es donde están todos los elementos posibles.
• El elemento nulo (Ø) no contiene ningún elemento.
• El complementario () de un conjunto (A) es otro conjunto donde están todos los elementos del espacio que no están en dicho conjunto:
• La unión de un conjunto (A) con otro conjunto (B) es un nuevo conjunto donde están todos los elementos de A y todos los elementos de B y es expresado como
• La intersección de un conjunto (A) con otro conjunto (B) es un nuevo conjunto donde están los elementos de A que también están en B y es expresado como

• Cualitativas o categóricas: No se pueden expresar numéricamente, sino como categorías o características (color de ojos, sexo…).
• Cuantitativas: Se pueden expresar de forma numérica…
  • Cuantitativas discretas: Toman valores enteros (generalmente corresponden al conteo de unidades en un grupo), por ejemplo número de hijos, puntos en un partido…
  • Cuantitativas continuas: Toman valores en un intérvalo. Peso, cotización, tiempo de acceso a una base de dato…

Al estudiar variables numéricas nos encontramos con conceptos tales como el máximo y el mínimo (valor más grande y más pequeño que puede tomar dicha variable) y con el rango, es decir, la diferencia entre el máximo y el mínimo.

La frecuencia del valor de una variable la podemos encontrar como:

• Frecuencia absoluta: El número de veces que encontramos un valor en el tamaño de la muestra.
• Frecuencia relativa: La proporción del valor de una variable (frecuencia absoluta / tamaño de la muestra).

Muestran propiedades de la distribución.

Valor que se ha repetido más veces en la muestra (el valor que tiene una mayor frecuencia absoluta).

El valor central del conjunto de valores. Para poder calcularla primero hay que ordenar todas las observaciones.
La mediana en la siguiente lista (impar) de valores es 15: 1 12 13 15 15 15 17 18 19
Cuando la lista de valores es par sería la media entre los valores centrales.

La media de una variable x se otiene dividiendo la suma de todos los valores por el número total de valores existentes (es el valor medio de una variable).
La media se representa como una X con palito horizontal arriba.
La mediana es un indicativo más fiable que la media debido a que la media puede ser distorsionada por los outlaiers.
Existen las desviaciones, que son las diferencias entre las distintas observaciones y la media: . La suma de todas es 0.

• Primer cuartil (Q1): Es aquel número que al menos el 25% de las observaciones son menores o iguales que él.
• Segundo cuartil: es la mediana.
• Tercer cuartil (Q3): Es aquel número que al menos el 75% de las observaciones son menores o iguales que él.

Números: 12 13 14 15 16 17 200
Mediana: 15
Q1: 13
Q3: 17

• Rango intercuartílico: medida que se calcula haciendo Q3 - Q1.

Se representa como S², es una forma de saber cómo se distribuyen los datos en torno a la media; sería el promedio de la diferencia de todos los elementos con el punto central. Se suman las desviaciones al cuadrado (para evitar el problema que los negativos anulen a los positivos) y se dividen entre el número de elementos.

Es lo que utilizamos para determinar la fluctuación de los datos. Es la raíz cuadrada positiva de la varianza:
La desviación estándar es simplemente el “promedio” esperado con respecto a la media aritmética. Por ejemplo, las muestras (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14) y (6, 6, 8, 8) tienen una media de 7. Sus desviaciones típicas son 8,08, 5,77 y 1,15, respectivamente. La tercera muestra tiene una desviación mucho menor que las otras dos porque sus valores están más cerca de 7.

Podríamos decir que si, por ejemplo, en una clase el conjunto normal de notas está entre el 4 y el 7 la desviación (y por tanto la varianza) sería más pequeña que si las notas están repartidas entre el 2 y 8. Aún así es preferible el uso de la varianza ya que su valor está en las mismas unidades que los datos. Además, si los datos están estandarizados es más intuitivo su uso.

Los valores estandarizados tienen una media de 0 y una desviación típica de 1.

Es el calculo de la tendencia que existe de que ocurra un suceso. A dicha tendencia se le dará un valor entre 0 (no sucederá) y 1 (sucederá).

Si tiramos un dado 100 veces y conseguimos los siguientes resultados:

Podemos comprobar que es un dado trucado ya que la frecuencia de aparición no está igualada entre los distintos resultados.

• La frecuencia relativa de un resultado es su número de apariciones dividido entre el número total de tiradas. Por ejemplo, la frecuencia relativa de 2 es y la de 5 es . La suma de todas las frecuencias relativas dará 1.
• La frecuencia relativa de un suceso relacionado con el estudio realizado (en este caso el tiro de los dados) es igual a la suma de las frecuencias relativas de los resultados favorables. Por ejemplo, la frecuencia relativa de un número par es la suma de la frecuencia relativa de los resultados pares: . Esto significa que ha salido un número par el 63% de las veces.
• Cuando los sucesos son incompatibles (o disyuntos) significa que sus resultados no coinciden en ninguno de los casos. Por ejemplo los sucesos P = “Sacar un número par” y Q = “Sacar 3 o 5”. La frecuencia relativa de P o Q será , es decir .
• Si los sucesos no son incompatibles, como por ejemplo P = “Sacar un número par” y Q = “Sacar un número mayor que 3”, la frecuencia relativa será la suma de todos los valores favorables, es decir la suma de las frecuencias relativas de los resultados 2, 4, 5 y 6.
• La frecuencia relativa de la unión de dos sucesos es la suma de las dos frecuencias relativas menos la intersición de las dos. En el ejemplo P = “Sacar un número par” y Q = “Sacar un número mayor que 3”, y y . .
• La frecuencia relativa de es 1 menos la frecuencia relativa de A.

La probabilidad condicional se expresa como P(A|B) y equivale a decir “la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ocurre (o ha ocurrido o va a ocurrir o está ocurriendo) B”, es decir, “dando B qué probabilidad hay de que ocurra A”, se escribe P(A|B) y se lee la probabilidad de A dado B. No tiene por qué haber una relación entre A y B, ni en tiempo (no tiene por qué suceder ninguno antes) o por causa, A puede causar B, viceversa o simplemente pueden no tener relación alguna.
Se expresa como:




Por ejemplo, calcular la probabilidad de que al tirar un dado salga un 6 habiendo salido previamente un par:


Otro ejemplo:

La probabilidad de tener una enfermedad rara es de 0,001: P(enfermo) = 0,001
La probabilidad de que cuando el paciente está enfermo se acierte en el diagnóstico es de 0,99: P(positivo | enfermo) = 0,99
La probabilidad de falso positivo es de 0,05: P(positivo | sano) = 0,05
Pregunta: Me dicen que he dado positivo, ¿Qué probabilidad hay de que tenga la enfermedad?

Teniendo la siguiente proposición:
En una universidad los estudiantes se matriculan en tres carreras del siguiente modo: el 20% estudian arquitectura, el 35% medicina y el 45% economía. El porcentaje de alumnos que finalizan sus estudios en cada caso es del 5%, 12% y del 18%.

Podemos montar un árbol de probabilidades…

1. …este se hace a partir de un inicio (100% de elementos) que se va distribuyendo en las distintas cantidades de las opciones (sucesos incompatibles), en este caso 1 se distribuye en 0.2, 0.35 y 0.45.
2. Estos a su vez se distribuyen en las distintas opciones, los que sí que finalizan los estudios y los que no finalizan los estudios. En este caso tenemos los que si finalizan los estudios: 0.05 de 0.2 (0.05 * 0.2 = 0.01), 0.12 de 0.35 (0.12 * 0.35 = 0.042) y 0.18 de 0.45 (0.18 * 0.45 = 0.081).
3. Para acabar tenemos que saber cuales son las probabilidades de que algo no ocurra, para ello para cada una de estas probabilidades cogemos el tanto por ciento concreto y lo restamos de 100 (o, en este caso de 1). Por ejemplo, si en los que estudian arquitectura el tanto por ciento de los que aprueban es el 5% el tanto por ciento de los que no es 95%, es decir 0.95 de 0.2 (0.95 * 0.2 = 0.19).
   

• Para comprobar si está correcto la suma de las columnas ha de sumar 1:
  • 
  • 
• Podemos saber la probabilidad de que un alumno acabe la carrera, esta es: . Y la que no:
• Podemos saber fácilmente que probabilidad tendrá un alumno de acabar la carrera si estudia arquitectura o medicina ()

Se diría que la probabilidad de entrar en una carrera u otra sería: , para arquitectura, medicina y economía respectivamente y el acabar los estudios sería según si es acabarlos o no.
Aprobar los estudios de arquitectura sería pues: . Y aprobar los estudios habiendo hecho arquitectura . Por lo tanto:

Es una fórmula de calcular las probabilidades de sucesos incompatibles:

Por ejemplo, teniendo que la probabilidad de que haya un accidente en una fábrica es de 0.1. La probabilidad de que la alarma suene si se ha producido un accidente es de 0.97 y de que suene siendo una falsa alarma es de 0.02. Entonces, dando por supuesto que suena la alarma, qué probabilidad hay de que haya sido por una falsa alarma?
Tenemos pues:

• B = Producirse incidente
• A = Sonar la alarma

Lo que hace es dar la probabilidad de A dado B a partir de la probabilidad de B dado A. Es decir, sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza cuando se tiene gripe, se podría saber la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza.

Una distribución es una función que nos da la probabilidad de que un valor concreto para una variable pueda ocurrir. Las distribuciones tiene una forma concreta, según esta son discretas o continuas.
La función que siguen una distribución es denominada función de densidad.

• Binomial: Los ensayos son independientes y la probabilidad de éxisto es fija, además únicamente tiene dos posibles resultados: éxito (p) o fracaso (1-p).
• De Poisson: A partir de la frecuencia de un evento estudia la probabilidad de que ocurran otros durante cierto periodo de tiempo.

Aquellas que pueden tomar cualquier valor existente dentro de un intervalo.

• Normal: o gausiana, en una serie de echos podemos ver los más frecuentes en el centro y los menos a los distintos lados del gráfico. Se define a partir de μ (la media) y σ (la desviación típica (σ² es la varianza)).
• De Pearson o χ²
• t de Student: Cuando la muestra es pequeña.
• De Laplace

Dice que cuando el número de variables aleatorias es suficientemente grande la distribución que siguen los experimentos es normal.

Podemos escribir la probabilidad de la forma…
P(L ≤ Θ ≤ U) = 1 - ∝
, donde L y U son funciones para los datos y Θ el parámetro. Quiere decir que el valor de Θ estará entre L y U en un 100·(1-∝)% de las veces que se haga el experimento.